Khi nào một trạng thái đạt hiệu quả Pareto?

Hiệu quả Pareto là gì?

Trong kinh tế học phúc lợi, hiệu quả Pareto hay tối ưu Pareto là một tiêu chuẩn đánh giá trạng thái phân bổ nguồn lực dựa trên sở thích hoặc mức lợi ích của từng cá nhân. Một trạng thái đạt hiệu quả Pareto khi không thể chuyển sang một trạng thái khả thi khác để ít nhất một người được lợi hơn mà không làm bất kỳ người nào khác bị thiệt.

Cách hiểu này có hai thành phần quan trọng. Thứ nhất, so sánh chỉ diễn ra giữa các trạng thái khả thi, nghĩa là các phương án phải tuân thủ cùng những ràng buộc về nguồn lực và công nghệ. Thứ hai, tiêu chuẩn Pareto không cộng lợi ích của nhiều người thành một con số chung; nó chỉ hỏi từng người có tốt hơn, kém hơn hay không thay đổi so với trạng thái ban đầu.

Do đó, hiệu quả Pareto là một thuộc tính của mối quan hệ giữa một trạng thái và toàn bộ tập phương án khả thi. Nếu còn “khoảng trống” để cải thiện cho ai đó mà không tạo ra người thua cuộc, trạng thái đó chưa hiệu quả Pareto.

Điều kiện nào làm một trạng thái trở thành tối ưu Pareto?

Gọi (x^) là trạng thái đang xét và (F) là tập các trạng thái khả thi. Nếu (u_i(x)) biểu diễn mức lợi ích của cá nhân (i) tại trạng thái (x), thì (x^) đạt hiệu quả Pareto khi không tồn tại (x \in F) sao cho:

[

u_i(x) \ge u_i(x^*) \quad \text{với mọi cá nhân } i

]

và đồng thời có ít nhất một cá nhân (j) thỏa:

[

u_j(x) > u_j(x^*)

]

Hai bất đẳng thức này chính là tiêu chuẩn kỹ thuật của một Pareto improvement: mọi người đều không kém đi và ít nhất một người tốt hơn. Vì vậy, điều kiện “không còn Pareto improvement khả thi” là điều kiện cốt lõi để xác định tối ưu Pareto.

Cơ chế của tiêu chuẩn này khá rõ. Nếu tìm được một phương án thỏa hai bất đẳng thức trên, trạng thái ban đầu bị chứng minh là chưa tối ưu vì vẫn còn cách cải thiện mà không tạo người thua cuộc. Ngược lại, nếu không có phương án khả thi nào như vậy, mọi thay đổi làm một người tốt hơn tất yếu phải khiến ít nhất một người khác kém đi. Khi đó trạng thái nằm trên biên Pareto của tập khả thi.

Điều kiện này không yêu cầu so sánh trực tiếp “một đơn vị lợi ích” của người A với “một đơn vị lợi ích” của người B. Hàm (u_i) ở đây chủ yếu đại diện cho thứ tự ưu thích của từng cá nhân đối với các trạng thái khác nhau.

Pareto improvement và Pareto dominance dùng để kiểm tra thế nào?

Hai khái niệm giúp biến định nghĩa Pareto thành một phép kiểm tra thực tế là Pareto improvement và Pareto dominance. Một chuyển đổi từ trạng thái (x) sang (y) là Pareto improvement nếu ít nhất một người thích (y) hơn (x) và không ai thích (x) hơn (y). Khi đó có thể nói (y) Pareto-dominates (x).

Từ đây, phép kiểm tra tối ưu Pareto có thể diễn đạt ngắn gọn: một trạng thái là Pareto efficient nếu nó không bị bất kỳ trạng thái khả thi nào Pareto-dominates. Chỉ cần tìm được một trạng thái thống trị theo Pareto là đủ bác bỏ tính hiệu quả của trạng thái đang xét; nhưng để khẳng định hiệu quả, phải loại trừ toàn bộ các Pareto improvement trong tập khả thi.

Điểm này giải thích vì sao tối ưu Pareto thường không phải một nghiệm duy nhất. Nhiều trạng thái khác nhau có thể cùng không bị trạng thái nào khác thống trị. Giữa hai trạng thái đều hiệu quả Pareto, có thể người A thích trạng thái thứ nhất còn người B thích trạng thái thứ hai; tiêu chuẩn Pareto tự nó không cho biết nên chọn trạng thái nào.

Điều kiện tối ưu trong bài toán phân bổ nguồn lực

Trong bài toán phân bổ, điều kiện “không còn Pareto improvement” vẫn là tiêu chuẩn tổng quát. Các điều kiện như bằng nhau của tỷ lệ thay thế biên chỉ là cách đặc trưng hóa tiêu chuẩn này trong những mô hình có giả định cụ thể.

Ràng buộc khả thi luôn có trước điều kiện tối ưu

Với hai người A, B và hai hàng hóa X, Y, một phân bổ phải thỏa các ràng buộc nguồn lực:

[

x_A x_B = \bar{x}, \qquad y_A y_B = \bar{y}

]

trong trường hợp toàn bộ nguồn lực được phân bổ. Nếu còn hàng hóa chưa sử dụng trong khi ít nhất một người vẫn thích có thêm, có thể tồn tại một Pareto improvement bằng cách cấp phần nguồn lực dư đó mà không lấy bớt của người khác. Vì thế, tính khả thi và việc có thể tái phân bổ nguồn lực là phần không thể tách khỏi kiểm tra Pareto.

Khi nào MRS bằng nhau?

Nếu sở thích của hai người khả vi, đơn điệu, lồi và phân bổ là nghiệm nội tại, một điều kiện quen thuộc của hiệu quả Pareto trong trao đổi là:

[

MRS_A = MRS_B

]

với (MRS_i = MU_{X,i}/MU_{Y,i}), tức tỷ lệ thay thế biên giữa X và Y của mỗi người. Nếu hai MRS khác nhau, hai người đang định giá tương đối hai hàng hóa khác nhau; khi đó thường có thể trao đổi một lượng biên để cả hai cùng tốt hơn. Khi MRS bằng nhau, khả năng tạo lợi ích đôi bên bằng một trao đổi biên như vậy biến mất.

Tuy nhiên, (MRS_A=MRS_B) không phải định nghĩa phổ quát của tối ưu Pareto. Ở nghiệm góc, với sở thích không khả vi hoặc trong tập khả thi không lồi, điều kiện bằng nhau có thể không áp dụng. Tiêu chuẩn tổng quát vẫn là: không tồn tại một phương án khả thi Pareto-dominates trạng thái hiện tại.

Ví dụ nhận diện một phân bổ đạt hiệu quả Pareto

Giả sử có 10 đơn vị của một loại hàng hóa để phân bổ cho A và B, và cả hai đều thích có nhiều hàng hóa hơn. Xét trạng thái A nhận 4 đơn vị, B nhận 4 đơn vị, còn 2 đơn vị chưa phân bổ. Trạng thái này không hiệu quả Pareto: chỉ cần đưa thêm 1 đơn vị còn dư cho A, A tốt hơn trong khi B không thay đổi. Đó là một Pareto improvement.

Ngược lại, nếu toàn bộ 10 đơn vị đã được phân bổ, chẳng hạn A nhận 5 và B nhận 5, thì dưới các giả định trên không thể tăng phần của A mà không giảm phần của B, và cũng không thể tăng phần của B mà không giảm phần của A. Phân bổ này đạt hiệu quả Pareto.

Điều đáng chú ý là phân bổ A nhận 10 và B nhận 0 cũng có thể đạt hiệu quả Pareto trong ví dụ rất hẹp này. Khi nguồn lực đã dùng hết và cả hai chỉ quan tâm đến việc có nhiều hơn, muốn cải thiện cho B phải lấy ít nhất một phần từ A, khiến A kém đi. Ví dụ cho thấy tiêu chuẩn Pareto kiểm tra khả năng cải thiện không gây thiệt hại, chứ không kiểm tra mức độ bình đẳng của phân bổ.

Tối ưu Pareto không đồng nghĩa với công bằng hay tốt nhất

Từ “tối ưu” dễ tạo cảm giác rằng một trạng thái Pareto efficient là trạng thái tốt nhất cho xã hội. Kết luận đó vượt quá những gì tiêu chuẩn Pareto thực sự chứng minh. Pareto efficiency chỉ nói rằng không còn cải thiện khả thi nào làm một người tốt hơn mà không làm ai khác kém đi.

Vì vậy, một nền kinh tế có thể có nhiều trạng thái tối ưu Pareto với mức phân phối rất khác nhau. Một trạng thái cực kỳ bất bình đẳng vẫn có thể Pareto efficient nếu mọi cách cải thiện cho người đang có ít hơn đều phải làm người khác mất đi một phần lợi ích. Ngược lại, một trạng thái có vẻ công bằng vẫn có thể chưa hiệu quả nếu còn nguồn lực lãng phí hoặc còn giao dịch có thể làm ít nhất một người tốt hơn mà không gây thiệt cho ai.

Giới hạn này cũng cho thấy tiêu chuẩn Pareto không cân đo quy mô lợi ích và thiệt hại giữa các cá nhân. Chỉ cần một người bị làm kém đi thì thay đổi đó không còn là Pareto improvement, dù người khác có thể được lợi rất nhiều. Vì thế, khi dùng khái niệm này, câu hỏi đúng nên là “còn Pareto improvement khả thi hay không?”, thay vì “đây có phải phân bổ công bằng nhất hay tốt nhất tuyệt đối hay không?”.

Một trạng thái đạt hiệu quả Pareto khi không tồn tại phương án khả thi nào khiến ít nhất một người tốt hơn mà không làm bất kỳ người nào khác kém đi. Cách kiểm tra tổng quát là tìm Pareto improvement hoặc một trạng thái Pareto-dominates trạng thái hiện tại; nếu không có, trạng thái đó là Pareto efficient. Trong các mô hình trao đổi nội tại với những giả định phù hợp, điều kiện MRS bằng nhau giúp nhận diện hiệu quả, nhưng không thay thế định nghĩa tổng quát. Quan trọng nhất, tối ưu Pareto phản ánh hiệu quả theo nghĩa “không còn cải thiện không gây thiệt hại”, chứ không bảo đảm công bằng hay một nghiệm duy nhất.