Vì sao định luật bảo toàn áp dụng trong hệ kín?

Điểm quan trọng là không phải mọi đại lượng đều được bảo toàn, và một đại lượng cũng không tự nhiên bất biến chỉ vì ta gọi hệ là “kín”. Sự bảo toàn xuất phát từ cấu trúc của các định luật vật lý và các đối xứng của chúng; còn việc chọn một hệ không trao đổi đại lượng đang xét với môi trường giúp ta quan sát trực tiếp tính bất biến đó.

Định luật bảo toàn là gì?

Một định luật bảo toàn mô tả sự bất biến của tổng một đại lượng trong quá trình hệ biến đổi. Các phần bên trong hệ có thể trao đổi đại lượng cho nhau, nên giá trị của từng vật hoặc từng vùng có thể tăng hoặc giảm, nhưng tổng của toàn hệ vẫn giữ nguyên nếu không có dòng trao đổi tương ứng qua biên hệ.

Ví dụ, hai vật va chạm có thể làm động lượng của từng vật thay đổi mạnh. Tuy nhiên, nếu tổng ngoại lực tác dụng trong thời gian va chạm có thể bỏ qua, tổng động lượng trước và sau va chạm vẫn bằng nhau:

(P_{\text{trước}} = P_{\text{sau}})

Tương tự, năng lượng có thể chuyển từ thế năng sang động năng, từ cơ năng sang nhiệt hoặc sang dạng năng lượng khác. Việc một dạng năng lượng giảm không đồng nghĩa năng lượng đã biến mất; cần xét tổng tất cả các dạng liên quan trong hệ.

Ở mức cục bộ, ý tưởng này thường được biểu diễn bằng phương trình liên tục:

(\partial \rho/\partial t \nabla \cdot J = 0)

Trong đó (\rho) biểu diễn mật độ của đại lượng được bảo toàn còn (J) biểu diễn dòng của đại lượng đó. Phương trình cho thấy lượng chứa trong một vùng chỉ thay đổi khi có dòng đi qua biên của vùng, thay vì tự nhiên xuất hiện hoặc biến mất bên trong.

Vì sao một số đại lượng vật lý lại được bảo toàn?

Lý do sâu hơn nằm ở tính đối xứng của các định luật vật lý. Định lý Noether thiết lập mối liên hệ giữa những đối xứng liên tục của một hệ vật lý và các đại lượng bảo toàn tương ứng.

Nếu các định luật chi phối hệ không thay đổi khi dịch chuyển thời điểm thực hiện thí nghiệm, hệ có đối xứng theo thời gian; đại lượng liên hệ với đối xứng này là năng lượng. Nếu các định luật không phụ thuộc vào vị trí tuyệt đối trong không gian, đối xứng tịnh tiến không gian dẫn đến bảo toàn động lượng. Nếu kết quả vật lý không thay đổi khi toàn bộ hệ được quay đi một góc mà không thay đổi các điều kiện vật lý tương đối, đối xứng quay liên hệ với bảo toàn mômen động lượng.

Có thể tóm tắt mối liên hệ cơ bản như sau:

Vì vậy, định luật bảo toàn không chỉ là kết quả của việc quan sát nhiều lần rằng “tổng dường như không đổi”. Trong các lý thuyết vật lý có cấu trúc phù hợp, nó là hệ quả toán học của những tính đối xứng cơ bản.

Tuy nhiên, điều kiện đối xứng phải thực sự tồn tại. Chẳng hạn, nếu môi trường tác động lên hệ theo cách làm mất tính bất biến theo thời gian, năng lượng của riêng hệ được chọn không nhất thiết giữ nguyên. Tương tự, ngoại lực có thể làm động lượng của hệ thay đổi và ngoại mômen lực có thể làm mômen động lượng thay đổi.

Vì sao ranh giới của hệ quyết định đại lượng có giữ nguyên hay không?

Một đại lượng chỉ được xem là không đổi bên trong hệ khi không có lượng ròng của đại lượng đó truyền qua biên hoặc được trao đổi với môi trường theo cơ chế liên quan. Vì thế, trước khi áp dụng định luật bảo toàn phải xác định rõ đâu là hệ và đâu là môi trường.

Với động lượng, phương trình cơ bản là:

(dP/dt = F_{\text{ngoài}})

Khi tổng ngoại lực bằng 0, tổng động lượng của hệ không đổi. Nếu có ngoại lực, động lượng của riêng hệ có thể thay đổi; khi mở rộng phạm vi để bao gồm cả tác nhân gây lực, định luật bảo toàn có thể lại được áp dụng cho hệ lớn hơn.

Tương tự, với mômen động lượng:

(dL/dt = \tau_{\text{ngoài}})

Nếu ngoại mômen lực bằng 0, tổng mômen động lượng được bảo toàn.

Đối với năng lượng, hệ phải không nhận hoặc truyền năng lượng ròng qua biên nếu muốn tổng năng lượng của riêng hệ giữ nguyên. Đây cũng là lý do cần thận trọng với từ “hệ kín”. Trong nhiệt động lực học, một hệ kín không trao đổi vật chất nhưng vẫn có thể trao đổi năng lượng dưới dạng nhiệt hoặc công. Vì vậy, nội năng của một hệ kín không mặc nhiên bất biến. Hệ cô lập là trường hợp mạnh hơn: không trao đổi cả vật chất lẫn năng lượng với môi trường.

Trong cách dùng rộng hơn của bài toán bảo toàn, điều quan trọng không phải tên gọi của hệ mà là điều kiện biên: đại lượng đang xét có được trao đổi ròng với bên ngoài hay không.

Những đại lượng bảo toàn thường gặp và điều kiện áp dụng

Năng lượng được bảo toàn khi xét đầy đủ các dạng năng lượng và toàn bộ phần hệ tham gia vào quá trình. Ma sát chẳng hạn không làm năng lượng biến mất; nó chuyển một phần cơ năng thành nội năng hoặc nhiệt. Vì thế cơ năng có thể không được bảo toàn trong một quá trình có ma sát, trong khi tổng năng lượng của hệ mở rộng vẫn tuân theo bảo toàn năng lượng.

Động lượng được bảo toàn khi xung lượng của ngoại lực bằng 0 hoặc đủ nhỏ để có thể bỏ qua trong khoảng thời gian đang xét. Đây là điều kiện thường được sử dụng khi phân tích va chạm nhanh giữa các vật.

Mômen động lượng được bảo toàn khi tổng ngoại mômen lực đối với hệ bằng 0. Một vận động viên trượt băng thu tay vào làm tốc độ quay tăng là ví dụ điển hình: mômen quán tính giảm trong khi mômen động lượng gần như không đổi, nên tốc độ góc phải tăng tương ứng.

Điện tích tuân theo định luật bảo toàn điện tích: điện tích có thể di chuyển từ vật này sang vật khác nhưng tổng điện tích của một hệ cô lập không thay đổi. Trong mô tả trường, tính bảo toàn này được thể hiện bằng phương trình liên tục của mật độ điện tích và dòng điện.

Không nên mở rộng nguyên tắc này thành nhận định rằng mọi đại lượng quen thuộc đều phải được bảo toàn. Chẳng hạn, động năng không được bảo toàn trong va chạm không đàn hồi. Khối lượng riêng biệt cũng không phải đại lượng bảo toàn tuyệt đối trong mọi hiện tượng vật lý hiện đại; trong các phản ứng hạt nhân, cách mô tả đầy đủ phải tính đến quan hệ giữa khối lượng và năng lượng.

Một va chạm cho thấy nhiều định luật bảo toàn có thể khác nhau thế nào

Xét hai xe nhỏ chuyển động trên một đường ray gần như không ma sát rồi va chạm và dính vào nhau. Trong thời gian va chạm rất ngắn, ngoại lực theo phương chuyển động có thể nhỏ so với lực tương tác giữa hai xe. Khi đó:

(m_1v_1 m_2v_2 = (m_1 m_2)v_f)

Tổng động lượng trước và sau va chạm được bảo toàn.

Tuy nhiên, vì hai xe dính vào nhau, động năng sau va chạm thường nhỏ hơn tổng động năng ban đầu. Phần chênh lệch đã chuyển thành biến dạng, dao động, âm thanh và nội năng. Vì vậy, động lượng được bảo toàn nhưng động năng không được bảo toàn, trong khi tổng năng lượng vẫn được bảo toàn nếu xét đầy đủ các dạng năng lượng.

Ví dụ này cho thấy câu hỏi đúng không phải là “hệ kín thì mọi thứ có được bảo toàn không?”, mà là “đại lượng nào có định luật bảo toàn, và điều kiện nào khiến dòng trao đổi hoặc tác động bên ngoài đối với đại lượng đó bằng không?”.

Nó cũng giải thích vì sao định luật bảo toàn rất hữu ích trong giải bài toán vật lý. Khi một đại lượng được xác định là bảo toàn, ta có thể liên hệ trạng thái trước và sau của hệ mà không cần biết chi tiết mọi lực tương tác nội bộ hay mọi giai đoạn trung gian của quá trình.

Định luật bảo toàn mô tả một tính bất biến có điều kiện: các thành phần của hệ có thể thay đổi và trao đổi với nhau, nhưng tổng của một đại lượng bảo toàn vẫn không đổi khi không có trao đổi ròng tương ứng với môi trường. Ở tầng sâu hơn, nhiều định luật bảo toàn bắt nguồn từ các đối xứng của những định luật vật lý, như mối liên hệ giữa đối xứng thời gian và năng lượng hay giữa đối xứng không gian và động lượng.

Vì vậy, “hệ kín” chỉ là một phần của điều kiện áp dụng. Muốn kết luận một đại lượng được bảo toàn, cần đồng thời xác định đúng đại lượng, ranh giới hệ và tác động bên ngoài. Khi các điều kiện này được thỏa mãn, nguyên tắc tổng đại lượng không đổi trở thành một trong những công cụ mạnh nhất để mô tả và dự đoán sự biến đổi của hệ vật lý.